Hasta ahora todos los experimentos estudiados se caracterizaban, de alguna
manera, por su dependencia temporal, donde los éxitos (sucesos) tienen
lugar (debido al azar) a intervalos regulares. Vamos a ocuparnos ahora de
aquellos sucesos raros que ocurren infrecuentemente en el tiempo,
espacio, volumen o cualquier otra dimensión, aquellos que se producen a
lo largo de intervalos continuos, como el número de accidentes
laborales o de automóviles en cierto lugar ó tiempo, el número de
llamadas telefónicas a un ordenador en un intervalo de tiempo, el
registro de radiación de un contador Geiger, el número de
imperfecciones en una cadena de producción, el número de errores de
una mecanógrafa, etc..
El
modelo matemático que podemos usar para describir estas situaciones es
la distribución de Poisson.
Cuando en una distribución binomial B(n,p), el número de
experimentos n tiende a infinito y la probabilidad del éxito p tiende
simultáneamente a cero, de forma que el producto n·p se mantiene
constantemente igual a un número real λ , la distribución binomial tiende
a:P(X=r)=e−λ.λrr!
que se conoce como distribución de Poisson: P(l), que cuenta el número de éxitos llamados ahora sucesos u ocurrencias de
Poisson, l se llama tasa de ocurrencias.
Veamos las condiciones que debe verificar:
Supongamos que se desea encontrar la distribución de
probabilidad del número de accidentes automovilísticos en un cruce, en
particular durante una semana.
Dividamos la semana en n subintervalos Δt, cada uno tan pequeño para que solo pueda ocurrir
como máximo un accidente; de esta manera una semana contiene t=n.Δt
de esos intervalos de tiempo, con una probabilidad p=δ.Δt distinta de cero y tal que la probabilidad de
no haya ningún
accidente es 1-p y la probabilidad de que se de más de un accidente en ese
intervalo es insignificante, siendo las probabilidades de que ocurran k
accidentes en dos intervalos de idéntica duración las mismas, entonces
el número de accidentes en una semana es exactamente el nº total de
subintervalos que contienen un accidente. Si podemos considerar la
ocurrencia de accidentes como independiente de un intervalo a
otro, el número total de accidentes sigue una distribución binomial.
Aunque no hay manera de elegir los subintervalos, en
consecuencia no conocemos n ni p, parece razonable pensar que la
probabilidad de que suceda un accidente decrecerá al dividir la semana
en un número de subintervalos cada vez mayor. Pasando al límite,
cuando n tiende a infinito,
λ=n.p=tΔt.δ.Δt=t.δ,P(X=r)=e−δt.(δt)rr!parar={0,1,2,...}
A λ se le llama tasa ó parámetro de la distribución de Poisson.
Esta distribución se utiliza en el caso de un suceso
de probabilidad muy pequeña en cada observación y se quiere obtener la
probabilidad de que ocurra un suceso un número de veces r. La variable
aleatoria X es el número de ocurrencias en el intervalo [0,t].
La esperanza matemática y la varianza de esta variable
son:
E(X)=λ;σ2=λ
Cuando una distribución B(n,p) tiene p muy pequeña y
n grande, se puede aproximar por una distribución de Poisson,
P(λ=n.p), límite de la binomial cuando n tiende a infinito:
B(n,p)=P(X=r)=(nr)pr(1−p)n−r≈(n.p)rr!.e−np
La aproximación es aceptable cuando n≥20
y p<0.05 ; es excelente cuando n≥100 siempre y
cuando n.p≤10