Este modelo se emplea en las extracciones sin reemplazamiento, es decir, en una población finita cuyos elementos pueden clasificarse en dos categorías: por ejemplo, una urna con N₁ bolas blancas y N₂ bolas negras tal que N=N₁+N₂.

            Extraemos n bolas sin reemplazamiento y la distribución hipergeométrica proporciona la probabilidad de que de esas n bolas extraídas, r bolas sean de un color determinado, por ejemplo blancas.

            Los parámetros son ahora N, n, p= N₁/N  ó  p= N₂/N  y puede comprobarse que el esquema es similar a la distribución binomial  B(n, p), pero con la diferencia de que las probabilidades en cada extracción van modificándose al no reponer la bola sacada; se denomina HG(N,n,p).

Una secuencia ordenada que describe el resultado buscado en las n extracciones, de las cuales r deberán ser bolas blancas es :

Suceso                  B  B  B  ..........B  N  N............N                                           r   veces                     n-r    veces

La probabilidad será: N 1 N . N 1 −1 N−1 .... N 1 −r+1 N−r+1 ... N 2 N-r . N 2 −1 N−r+1 ... N 2 −[n-(r+1)] N−(n+1)

y como hay que considerar todas las disposiciones con independencia del orden serán las permutaciones con repetición: P r,n−r n =( n r )

su función de probabilidad será, P(X=r)= n! r!( n−r )!  .  N 1 ! ( N 1 −r )! . N 2 ! ( N 2 −(n−r) )! N! ( N−n )! = ( N 1 r )( N 2 n−r ) ( N n )

Expresión que también nos proporciona el número de elementos defectuosos en una muestra de tamaño n.

Como el número de bolas blancas extraídas no puede ser mayor que el número de bolas blancas totales N₁ , ni del número de bolas extraídas, tampoco podrá ser inferior a 0 ni a n-N₂ , es decir, max(0,n- N 2 )≤r≤min(n, N 1 )

La esperanza y la varianza son: E(X)=n.p              σ 2 =n . p . q . N−n N−1

donde  p=N₁/N    y    q=1-p.

Cuando N es grande respecto de n  (n/N < 0.1) se puede sustituir la distribución hipergeométrica por la binomial