La distribución geométrica estudia el caso en el cual nos interesa obtener el número de ensayos hasta que ocurre el primer éxito; si ahora queremos saber el número de pruebas hasta que ocurran r éxitos, tenemos la variable aleatoria binomial negativa.

La secuencia, en el caso de querer calcular la probabilidad de que en n pruebas obtengamos r éxitos, será:

  Sucesos                   A  .   A.........  A  .  A'..........  A'.  A                                           r−1​​​​  veces          n−r  veces Probabilidad           p r−1                       q n−r                           p

Variando la posición en que aparecen los r-1 éxitos en la secuencia de las n pruebas, tendremos: P(X=n)= ( n−1 r−1 )   p r   q n−r           para    n≥r

Su esperanza y varianza son: E(X)= r p              ,              Var(X)= r.q p 2

Se representa por B_N(r,p) , pues depende de los parámetros r y p.

Si hacemos r=1 obtenemos la distribución geométrica G(p)=B_N(1,p), donde se producen k fracasos hasta obtener un éxito. Le sucede idénticamente como a las anteriores, en el tema de la urna.