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Varianza: mide
la dispersión media de los valores de una variable respecto a su
valor medio. |
Si
tenemos unos datos x1,x2,x3,....xn
la media aritmética de la dispersión de los datos, xi , respecto a
la media
x
¯
es:
σ
2
=
∑
i = 1
n
(
x
i
−
x
¯
)
2
f
i
∑
i = 1
n
f
i
y se llama varianza de los datos.
Cuando
X es una variable aleatoria con esperanza, E(X), finita, se llama varianza
de X a la media de la nueva variable Y=[X-E(X)]2 :
σ
2
= V a r ( X ) = E [
( X − E ( X ) )
2
] = E [
X
2
+
E
2
( X ) − 2. X . E ( X ) ] = E (
X
2
) +
E
2
( X ) − 2.
E
2
( X ) = E (
X
2
) −
E
2
( X )
a)
Cuando X es una variable aleatoria discreta:
σ
2
= E (
X
2
) −
E
2
( X ) =
∑
i = 1
n
x
i
2
. P ( X =
x
i
) − E
( X )
2
b)
Cuando X es una variable aleatoria continua:
σ
2
= E (
X
2
) −
E
2
( X ) =
∫
− ∞
+ ∞
x
2
. f ( x ) . d x − E
( X )
2
La
varianza viene expresada en unidades cuadradas, por lo que se suele
considerar la desviación típica,
la raíz cuadrada positiva de la varianza:
σ =
σ
2
Propiedades de la
varianza:
1) Var(X) es siempre positiva o nula, dado que
[
X − E ( X )
]
2
≥ 0
2) Var(K)=0, ya que Var(K)=E(K2)-E2(K)=K2-K2=0.
3)
Var(K.X)=K2.Var(X), como puedes ver: E[(KX)2]-E2(KX)=K2.E(X2)-E(KX).E(KX)=K2.E(X2)-K2.E2(X)=K2.Var(X)
4)Var(aX+b)=a2.Var(X),
¿eres capaz de llegar a este resultado?
5)Si X e Y son
independientes, Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y). En general si X1,X2,...,Xn
son independientes:
V a r (
∑
i
a
i
X
i
) =
∑
i
a
i
V a r (
X
i
)
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1) Var(X) es siempre positiva o nula, dado que
2) Var(K)=0, ya que Var(K)=E(K2)-E2(K)=K2-K2=0. 3) Var(K.X)=K2.Var(X), como puedes ver: E[(KX)2]-E2(KX)=K2.E(X2)-E(KX).E(KX)=K2.E(X2)-K2.E2(X)=K2.Var(X) 4)Var(aX+b)=a2.Var(X),
¿eres capaz de llegar a este resultado? 5)Si X e Y son
independientes, Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y). En general si X1,X2,...,Xn
son independientes:
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Considera la función representada
en la escena: ¿Se trata de una función de
densidad? |
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Calcula, mediante las áreas de las figuras correspondientes:
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Por simetría, ¿cuál crees que es la media en este caso?
Por si no te acuerdas.... |