Sea
la variable aleatoria X, la esperanza matemática o valor
medio E(X)=μ ,
es la más utilizada de entre las
medidas de centralización.
En
el caso discreto se obtiene como
la suma de cada uno de los valores que puede tomar la variable aleatoria,
multiplicados por sus respectivas probabilidades.
E(X)=
∑
i
x
i
p
i
=
∑
i
x
i
P(X=
x
i
)=
∑
i
x
i
f(
x
i
)
Por
ejemplo, si la variable aleatoria X toma los valores 0, 1, 2, 3, con
probabilidades 0.1, 0.2, 0.4, y 0.3, respectivamente, su esperanza
matemática es: E(X)= 0·0.1 + 1·0.2
+2·0.4 +3·0.3
= 1.9
Si
la variable toma infinitos valores, la expresión de E(X) es una serie; si
esta serie es convergente, existe la esperanza matemática, que será su suma, mientras
que no está definida cuando es divergente u oscilante; a la esperanza
matemática se
le llama también valor esperado de la variable aleatoria X.
En el caso absolutamente
continuo:
E(X)=
∫
−∞
+∞
x.f(x) dx
Por
ejemplo: Sea la variable aleatoria X con función de densidad
f(x)={
3
x
2
, 0≤x≤1
0 en otro caso
Entonces,
E(X)=
∫
0
1
x.3.
x
2
.dx=
(
3.
x
4
4
)
0
1
=
3
4
|