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Variables aleatorias discretas (II)

         El procedimiento más común para definir una variable aleatoria discreta es indicando sus valores posibles (espacio muestral) y sus probabilidades respectivas.

Se llama función de probabilidad f(xi) a la función que indica las probabilidades de cada posible valor: f(x i ) = P(X= x i ) = p i ≠0 f(x i ) = P(X≠ x i ) = 0 } y verifica que  〈 P(X= x i )≥0 ∑ i P(X= x i ) =1

Esta función se representa mediante un gráfico de barras.

Se llama función de distribución F(xi), definida en cada punto xi, a la probabilidad de que la variable aleatoria tome valores menores ó iguales a xi: F(x i )=P(X≤ x i )

La función de distribución se define para todo punto del eje real, es siempre no decreciente y por convenio se verifica

  F(-∞) = 0    y     F(∞) = 1

            Gráficamente, esta función tiene forma de escalera tomando los saltos en los valores aislados que toma la variable aleatoria, es continua por la derecha, siendo el conjunto de puntos de discontinuidad finito ó numerable.

            Suponiendo que X toma como posibles valores x 1 ≤ x 2 ≤...≤ x n  

su función de distribución vendrá definida por:

   F( x 1 )=P(X≤ x 1 )=p( x 1 )     FF( x 2 )=P(X≤ x 2 )=p( x 1 )+p( x 2 ) ......................... F( x n )=P(X≤ x n )= ∑ i=1 n p( x i )=1

P(x 1 <X≤ x 2 )= F(x 2 )− F(x 1 ) P(x 1 ≤X≤ x 2 )= F(x 2 )− F(x 1 ))+ P(X=x 1 ) P(x 1 ≤ X<x 2 )= F(x 2 )− F(x 1 ))+ P(X=x 1 )− P(X=x 2 ) P(x 1 <X<x 2 )= F(x 2 )− F(x 1 )− P(X=x 2 ) P(X>x i )=1-P(X≤ x i )=1-F(x i )