Hay un curioso aparato que utilizó Galton en
sus pruebas sobre experimentos dicotómicos, es decir con sólo dos
sucesos posibles, para ilustrar la ley binomial. Sobre un tablero se
colocan una serie de clavos y se echan por la parte superior bolas que al chocar
sobre cada clavo se desvían a derecha o izquierda con la misma probabilidad. Las bolas se recogen en la parte inferior en cajas.
El resultado es
que las cajas más céntricas recogen más bolas que las de los
extremos.
En concreto, la escena de la
izquierda reproduce uno de dichos aparatos que equivale a tirar una moneda 10 veces y anotar las sucesivas ocurrencias C,+,C,... etc. (C indica Cara y +
Cruz.) interpretando que si sale cara va hacia la derecha y si sale cruz hacia la izquierda.
Intenta obtener una ley que ligue el número de caras con
los casilleros de la parte inferior.
¿Sería equivalente el experimento de tirar diez monedas a
la vez y anotar el número de caras que aparecen?
Intenta explicar por qué hay más bolas en la parte central
que en los extremos.
Cada casillero puede identificarse con el suceso
optar por la derecha en 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ó 10 ocasiones. O lo que
es lo mismo, salir 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ó 10 caras. Un cálculo
sencillo de probabilidades nos dice que el número de casos posibles es 2^10 =
1024, y que los casos favorables a cada uno de los referidos sucesos
son
respectivamente. Por lo que las probabilidades son los respectivos
cocientes: P
[ Caer la bola en el casillero x] = P[ Salgan x caras al lanzar 10 monedas]
=(10x)1024
Si lanzamos 1024 bolas la distribución que cabe esperar en los
casilleros es 1, 10, 45, 120, 210, 252, 210, 120, 45, 10, 1. Utiliza el
aparato de Galton, con dicho número de bolas, y comprueba que el resultado es
"parecido" al esperado, que las frecuencias relativas son próximas a
las probabilidades teóricas.
Planteamiento general. Consideremos una experiencia en la que sólo se pueden producir
dos sucesos: A, que llamaremos
éxito, y su contrario A, que
llamaremos fracaso; con probabilidades P(A)=p y P(A)=1-p = q. Si repetimos n veces la experiencia, nos preguntamos por la
probabilidad de obtener 0, 1, 2, ....., n éxitos. Se trata de una
distribución de probabilidad discreta que puede tomar los valores 0, 1, 2, 3,
....., n, y se llama distribución binomial de parámetros n (número
de repeticiones) y p (probabilidad de éxito) y se representa por B(n,p).
Cálculo de probabilidades en una distribución binomial
B(n,p)
Probabilidad
Media
Desviación típica
P[X=k]=(nk).pk.qn−k
x¯=n.p
σ=n.p.q
La deducción de estas fórmulas supera este nivel y las
presentamos sólo a título informativo.