Realiza las siguientes cuestiones para comprobar el grado de conocimiento sobre la aplicación de la regla de la cadena y la derivación implícita.  Al final puedes comprobar si tus respuestas son acertadas o no, y obtener explicaciones sobre las respuestas correctas. 

1. La temperatura de un punto (x,y) de una placa metálica es T( x,y )=4 x 2 −4xy+ y 2 , con T en ºC y (x,y) en metros. Una hormiga camina sobre la placa a lo largo de una circunferencia de radio 5 metros y centro el origen, con velocidad angular w = 0.01 rad/s. Calcular la velocidad con la que varía la temperatura en su recorrido cuando se encuentra en el punto de coordenadas (3,4).    dT dt   | ( 3,4 ) =−0'44  ​​​ ºC/s.    dT dt   | ( 3,4 ) =0'44  ​​​ ºC/s.    dT dt   | ( 3,4 ) =−0'2  ​​​ ºC/s.    dT dt   | ( 3,4 ) =0'2  ​​​ ºC/s.
2.  Considerando x=r⋅cos⁡ ϕ  ,     y=r⋅sen ϕ , sabiendo que z es función de x e y, expresar ∂ 2 z ∂r ∂ϕ en función de las derivadas parciales de z, x e y.    ∂ 2 z ∂r ∂ϕ = xy x 2 + y 2 ⋅( ∂ 2 z ∂ y 2 − ∂ 2 z ∂ x 2 )+ 1 x 2 + y 2 ⋅( x ∂z ∂y +y ∂z ∂x )    ∂ 2 z ∂r ∂ϕ = xy x 2 + y 2 ⋅( ∂ 2 z ∂ y 2 − ∂ 2 z ∂ x 2 )+ x 2 − y 2 x 2 + y 2 ⋅ ∂ 2 z ∂x ∂y    ∂ 2 z ∂r ∂ϕ = xy x 2 + y 2 ⋅ ∂ 2 z ∂ x 2 + 1 x 2 + y 2 ⋅( x ∂z ∂y −y ∂z ∂x )    ∂ 2 z ∂r ∂ϕ = xy x 2 + y 2 ⋅( ∂ 2 z ∂ y 2 − ∂ 2 z ∂ x 2 )+ 1 x 2 + y 2 ⋅( x ∂z ∂y −y ∂z ∂x + x 2 − y 2 x 2 + y 2 ∂ 2 z ∂x ∂y )
3. Dada la función z( x,y )=x+f( x⋅y ) con f una función desconocida de la variable u = x.y, demostrar que se verifica una de las siguientes expresiones:    y ∂z ∂x −x ∂z ∂y =x    x ∂z ∂y −y ∂z ∂y =x    y ∂z ∂x +x ∂z ∂y =x    x ∂z ∂y −y ∂z ∂y =x+2xy ∂f ∂u	4. Un cilindro circular recto varía su forma de tal manera que su radio r crece a la tasa de 3cm/minuto y su altura h decrece a la tasa de 5cm/minuto. ¿A qué tasa varía el volumen cuando el radio es de 10 cm y la altura de 8 cm?     dV dt =980 π     dV dt =20 π     dV dt =−20 π     dV dt =−980 π
5.  Se definen: z= 1+u 1+v   ,   u=−cos⁡ x  ,   v=cos⁡ y . Obtener las derivadas parciales ∂z ∂x    y    ∂z ∂y utilizando la regla de la cadena.   ∂z ∂x  = sen y 2 ( 1−cos⁡ x )( 1+cos⁡ y )  ;    ∂z ∂y = sen x 2⋅ ( 1+cos⁡ y ) 3/2   ∂z ∂x  = sen x 2 1+cos⁡ y  ;    ∂z ∂y = 1−cos⁡ x 2⋅ ( 1+cos⁡ y ) 3/2   ∂z ∂x  = cos⁡ x 2 1−cos⁡ x  ;    ∂z ∂y = sen y 2⋅ 1+cos⁡ y   ∂z ∂x  = sen x 2 ( 1−cos⁡ x )( 1+cos⁡ y )  ;    ∂z ∂y = sen y 1−cos⁡ x 2⋅ ( 1+cos⁡ y ) 3/2	6. Hallar las derivadas parciales ∂u ∂s   y   ∂u ∂t , siendo u= ( yz ) x →Ln u=x Ln( yz ) ,   x= e s+t  ,   y= s 2 +3ts ,   z=sen t .   ∂u ∂s  =u⋅( e s+t  Ln u+ 2s+3t s 2 +3ts ) ;    ∂u ∂t =u⋅[ e s+t +Ln u⋅( 3s s 2 +3ts ) ]   ∂u ∂s  =u⋅Ln u⋅( e s+t  + 2s+3t s 2 +3ts ) ;    ∂u ∂t =u⋅Ln u⋅[ e s+t +( 3s s 2 +3ts ) ]   ∂u ∂s  =u⋅( Ln u+ e s+t ⋅ 2s+3t s 2 +3ts ) ;    ∂u ∂t =u⋅[ Ln u+ e s+t ⋅( 3s s 2 +3ts + cos⁡ t sen t ) ]   ∂u ∂s  =u⋅ e s+t ⋅( Ln u + 2s+3t s 2 +3ts ) ;    ∂u ∂t =u⋅ e s+t ⋅[ Ln u+( 3s s 2 +3ts + cos⁡ t sen t ) ]
7. Suponer que w es una función de todas las otras variables en la expresión 3 x 2 +2 y 2 +6 w 2 −x+y=12 . Hallar las derivadas indicadas: ∂w ∂x ,   ∂w ∂y ,   ∂ 2 w ∂x ∂y . ∂w ∂x = 1−6x 12w ,    ∂w ∂y =− 4y+1 12w ,   ∂ 2 w ∂x ∂y  = ( 1−6x )( 4y+1 ) 144  w 3 ∂w ∂x = 6x−1 12w ,    ∂w ∂y = 4y+1 12w ,   ∂ 2 w ∂x ∂y  = ( 6x−1 )( 4y+1 ) 144  w 3 ∂w ∂x = 12w 6x−1 ,    ∂w ∂y = 12w 4y+1 ,   ∂ 2 w ∂x ∂y  =0 ∂w ∂x = 12w 1−6x ,    ∂w ∂y =− 12w 4y+1 ,   ∂ 2 w ∂x ∂y  =0	8. Suponer que w es una función de todas las otras variables en la expresión x 2 −2xy+2xw+3 y 2 + w 3 =21 . Hallar las derivadas indicadas: ∂w ∂x ,   ∂w ∂y ,   ∂ 2 w ∂x ∂y ∂w ∂x = 2x+3 w 2 2y−2x−2w ,    ∂w ∂y = 2x+3 w 2 2x−6y ,   ∂ 2 w ∂x ∂y  =− 4x+6 w 2 ( 2y−2x−2w ) 2 ∂w ∂x = 2y−2x−2w 2x+3 w 2 ,    ∂w ∂y = 2x−6y 2x+3 w 2 ,   ∂ 2 w ∂x ∂y  = 2 2x+3 w 2 ∂w ∂x =− 2x+3 w 2 2y−2x−2w ,    ∂w ∂y =− 2x+3 w 2 2x−6y ,   ∂ 2 w ∂x ∂y  = 4x+6 w 2 ( 2y−2x−2w ) 2 ∂w ∂x = −2y+2x+2w 2x+3 w 2 ,    ∂w ∂y = −2x+6y 2x+3 w 2 ,   ∂ 2 w ∂x ∂y  = −2 2x+3 w 2
9. Suponer que w es una función de todas las otras variables en la expresión w− e w.sen( y/z ) =1 . Hallar las derivadas parciales: ∂w ∂z ,   ∂w ∂y ∂w ∂z = wy⋅ e w sen( y/z ) ⋅cos⁡( y/z ) z 2 ⋅( 1− e w sen( y/z ) ⋅sen( y/z ) ) ,    ∂w ∂y = −w⋅ e w sen( y/z ) ⋅cos⁡( y/z ) z⋅( 1− e w sen( y/z ) ⋅sen( y/z ) ) ∂w ∂z = e w sen( y/z ) ⋅cos⁡( y/z ) ( 1− e w sen( y/z ) ⋅sen( y/z ) ) ,    ∂w ∂y = −w⋅ e w sen( y/z ) ⋅cos⁡( y/z ) ( 1− e w sen( y/z ) ⋅sen( y/z ) ) ∂w ∂z = w⋅ e w sen( y/z ) ⋅cos⁡( y/z ) ( 1− e w sen( y/z ) ⋅sen( y/z ) ) ,    ∂w ∂y = w⋅ e w sen( y/z ) ⋅cos⁡( y/z ) ( 1− e w sen( y/z ) ⋅sen( y/z ) ) ∂w ∂z = −wy⋅ e w sen( y/z ) ⋅cos⁡( y/z ) z 2 ⋅( 1− e w sen( y/z ) ⋅sen( y/z ) ) ,    ∂w ∂y = w⋅ e w sen( y/z ) ⋅cos⁡( y/z ) z⋅( 1− e w sen( y/z ) ⋅sen( y/z ) )	10. Sea z=f( x,y ) , donde x=a t  ,   y=b t , con a y b constantes. Suponiendo que se verifican todas las condiciones de diferenciabilidad, calcular d 2 z d  t 2 en función de las derivadas parciales de z.                d 2 z d  t 2 = ∂ 2 z ∂ x 2 +2⋅ ∂ 2 z ∂x ∂y + ∂ 2 z ∂ y 2 d 2 z d  t 2 =a⋅ ∂ 2 z ∂ x 2 −2ab⋅ ∂ 2 z ∂x ∂y +b⋅ ∂ 2 z ∂ y 2 d 2 z d  t 2 = a 2 ⋅ ∂ 2 z ∂ x 2 +2ab⋅ ∂ 2 z ∂x ∂y + b 2 ⋅ ∂ 2 z ∂ y 2 d 2 z d  t 2 = a 2 ⋅ ∂ 2 z ∂ x 2 +ab⋅ ∂ 2 z ∂x ∂y + b 2 ⋅ ∂ 2 z ∂ y 2

Puntuación =

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