Se llama plano tangente a
una superficie en un punto P de la misma, al plano que
contiene todas las tangentes a las curvas trazadas sobre la
superficie por el punto P.
Puede probarse que el plano z=f(a,b)+fx(a,b)(x−a)+fy(a,b)(y−b)
es el plano tangente a la superficie S gráfica de la función z=f(x,y) en el punto (a, b).
En el caso de que la superficie S, venga dada en forma implícita,
es decir de la forma F(x,y,z)=0,
el plano tangente se puede calcular fácilmente teniendo en cuenta la
propiedad 2 del gradiente. La superficie F(x,y,z)=0 puede considerarse
la superficie de nivel de la función de tres variables w=F(x,y,z)
para la constante k=0. Si consideramos un punto P(a,b,c) de la
superficie S el gradiente de F en P, ∇F(a,b,c)=(Fx(a,b,c),Fy(a,b,c),Fz(a,b,c))
es normal a la superficie de
nivel que pasa por P. En consecuencia, el plano tangente a S en P
es: