Vector gradiente. Propiedades.

Si   w=f( x 1 , x 2 ,..., x n )   es una función que admite derivadas parciales en   x → =( x 1 , x 2 ,..., x n )  se llama gradiente de f en   x →   al vector

∇f( x 1 , x 2 ,..., x n )=( ∂f ∂ x 1 ( x 1 , x 2 ,..., x n ),..., ∂f ∂ x n ( x 1 , x 2 ,..., x n ) )

El vector gradiente se utiliza en diferentes situaciones. Quizás las dos más importantes son el cálculo de derivadas direccionales y el cálculo de extremos. Veamos ahora algunas propiedades del vector gradiente para el caso de funciones diferenciables.

Propiedad 1: Dada una función f diferenciable, si el gradiente de f en P es el vector nulo entonces la derivada direccional en cualquier dirección en el punto P es cero.

Propiedad 2: El vector gradiente en un punto P es ortogonal a la superficies equiescalares definidas por   f( x → )=f( x 1 , x 2 ,..., x n )=K=cte que pasa por P.

Caso particular: En el caso de funciones de dos variables las superficies equiescalares son las curvas de nivel. En la figura se muestran las curvas de nivel de la función  z= x 2 + y 2   y su gradiente en distintos puntos. Puedes hacer clic sobre la imagen para verla más claramente.

Caso particular: En el caso de funciones de tres variables las superficies equiescalares son las superficies de nivel.

Propiedad 3: El gradiente tiene la dirección y sentido en el que la derivada direccional es máxima. 

Propiedad 4: Su módulo en cada punto coincide con el valor de la derivada direccional máxima. 

       

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