Diferenciabilidad: funciones de dos variables

La diferenciabilidad de una función de varias variables permite generalizar el concepto de derivabilidad de una función de una variable.

Podríamos pensar que, si la recta tangente era la línea más sencilla que tenía el contacto mayor con una curva en un punto dado, en el caso de la superficie será el plano tangente el que haga ese papel.

El plano tangente es, en efecto, la superficie más sencilla, está dado por una función de primer grado en dos variables, z= f (x, y) = ax+by+c, afín o lineal según sea c, es decir, la ampliación para dos variables de lo que era la recta con una.

Puedes mover el punto rojo de la figura de la derecha para visualizar esta idea.

Consideramos una función de dos variables z=f( x,y ) cuya gráfica es una superficie S en ℝ 3 . El hecho de que un plano que pasa por el punto P(a, b, f(a,b))

z=f( a,b )+A( x−a )+B( y−b )

aproxime a S en el punto P, se puede expresar matemáticamente como:

lim⁡ ( x,y )→( a,b ) f( x,y )−[ f( a,b )+A( x−a )+B( y−b ) ] ( x−a ) 2 + ( y−b ) 2 =0

Se puede probar que para que el límite anterior sea cero se ha de cumplir:

A= ∂f ∂x ( a,b ) B= ∂f ∂y ( a,b )

Definición (Diferenciabilidad).- Si f es una función definida y acotada en un dominio D que admite derivadas parciales en el punto (a, b) perteneciente al dominio y cumpliendo que:

lim⁡ ( x,y )→( a,b ) f( x,y )−[ f( a,b )+ ∂f ∂x ( a,b )⋅( x−a )+ ∂f ∂y ( a,b )( y−b ) ] ( x−a ) 2 + ( y−b ) 2 =0

entonces se dirá que la función f es diferenciable en el punto (a, b).

Se llama plano tangente a una superficie diferenciable en un punto P de la misma, al plano que contiene todas las tangentes a las curvas trazadas sobre la superficie por el punto P. Puede probarse que el plano z=f( a,b )+ ∂f ∂x ( a,b )( x−a )+ ∂f ∂y ( a,b )( y−b ) es el plano tangente a la superficie S gráfica de la función z=f(x,y) en el punto (a, b, f(a,b)).