Comencemos con un concepto nuevo muy parecido al de derivada de una
función en una variable. Supongamos que en una función de varias
variables se consideran todas las variables excepto una, iguales a una
constante. En este caso se obtendría una función de una sola variable
que puede derivarse con las reglas habituales.
Ejemplo. Se considera la función w=f(x,y,z)=x2z9+y2z9+xyz9 .
Si se hace y=2, z=3, la función que se
obtiene, f(x,2,3)=x23+2x3+43 , es de
una sola variable, la x, por lo que es posible
derivar esta función respecto de x:
ddxf(x,2,3)=2x3+23
En la figura se muestra a la izquierda la
superficie S definida por w=f(x,y,3) y la curva C
intersección de S con el plano y=2. A la derecha
aparece esa curva en el plano XW. La pendiente de la
recta tangente a esa curva en cada punto x
representa la derivada anterior y es lo que se
llamará derivada parcial de f respecto de x.
De la misma manera si se hace x=1, z=4 se obtiene una
función de la variable y: w=f(1,y,4)=49(1+y2+y), que puede derivarse respecto a y: ddyf(1,y,4)=49(2y+1)
.
La generalización de este proceso recibe el nombre de
derivación parcial.
La derivada parcial de una función f(x1,x2,...,xi,...,xn)
respecto a la
variable xi
en el punto P(p1,p2,...,pn)
se define comoddxif(p1,...,xi,...,pn)|xi=pi
Es decir,ddxif(p1,...,xi,...,pn)|xi=pi=limt→0f(p1,...,xi+t,...,pn)−f(p1,...,xi,...,pn)t
Siempre que el límite anterior exista.
Notación: Si u=f(x→)
con x→=(x1,x2,...,xn)
las notaciones que se emplean para denotar a
la derivada parcial son:∂f∂xi(P),∂f∂xi|P,fxi(P),fxi'(P),∂u∂xi(P),uxi(P),uxi'(P)
Así para el caso de una función de tres variables se pueden calcular
∂f∂x(P),∂f∂y(P),∂f∂z(P)
Forma práctica de calcular la derivada parcial de una función
f(x1,x2,...,xn)
respecto a la componente i-ésima: se calculará la derivada de la función de una variable obtenida al fijar
como constantes los valores de todos los componentes excepto la i-ésima.
Herramienta para calcular derivadas parciales de una función: