La regla de la cadena permite realizar la derivación de funciones
implícitas.
Supongamos que F(x,y)=0 define a y de manera implícita como una
función diferenciable de x, es decir, y=f(x), donde F(x,f(x))=0
para todas las x del dominio de f.
Por ejemplo, en la figura de la izquierda la gráfica en trazo continuo se corresponde con
(x2+y2)2=x2−y2
y en trazo discontinuo
(x2+y2)2=2xy
Si F es diferenciable,
aplicando la regla de la cadena a ambos miembros de la ecuación,
F(x,y)=0 se tiene:
∂F∂xdxdx+∂F∂ydydx=0⇒Si∂F∂y≠0dydx=−∂F∂x∂F∂y
¿Cómo saber cuándo F(x,y)=0 define a y implícitamente como una
función de x?
Teorema de la función implícita: Si F está
definida sobre un disco abierto D que contiene al punto (a,b) donde F(a,b)=0
y además:
∂F∂x,∂F∂y
son continuas en D
∂F∂y(a,b)≠0
entonces la ecuación F(x,y)=0 define a y como una función
diferenciable de x en un entorno del punto (a,b).
Supongamos F(x,y,z)=0 define a z de manera implícita como
una función z=f(x,y). Entonces F(x,y,f(x,y))=0 para todos los (x,y) del dominio de f.
Por ejemplo, en la figura de la izquierda se tiene la superficie
xy−yz−zx−y=1.
Si F
y f son diferenciables, aplicando la regla de la cadena a ambos
miembros de la ecuación F(x,y,z)=0, se tiene:
∂F∂xdxdx︸=1+∂F∂ydydx︸=0+∂F∂z∂z∂x=0⇒Si∂F∂z≠0∂z∂x=−∂F∂x∂F∂z
De forma análoga:
∂z∂y=−∂F∂y∂F∂z
¿Cómo saber cuándo F(x,y,z)=0 define a z implícitamente como
una función de x e y?
Teorema de la función implícita: Si F está definida
sobre un esfera abierta que contiene al punto (a,b,c) donde
F(a,b,c)=0 y además:
∂F∂x,∂F∂y,∂F∂z
son continuas dentro de la esfera
∂F∂z(a,b,c)≠0
entoces la ecuación F(x,y,z)=0 define a z como una función
diferenciable de x e y en un entorno del punto (a,b,c).
Supongamos F(x,y,z)=0 define a z de manera implícita como
una función z=f(x,y). Entonces F(x,y,f(x,y))=0 para todos los (x,y) del dominio de f.
Por ejemplo, en la figura de la izquierda se tiene la superficie