Regla de la cadena

Con la regla de la cadena se pretende calcular derivadas parciales de una función compuesta, sin realizar la composición de funciones previamente.

Ejemplo: La trayectoria de un avión en el instante t viene dada por x( t ) → =600t( 1,1,1 ) t>0 estando en el instante t=0 sobre el nivel del mar y considerando t en segundos. Suponiendo que la presión atmosférica P varía según la fórmula

P( x,y,z )= 10 −12 x+ 10 −12 y− 10 −8 z 2 +1 ( 0≤z≤10000 )

¿Cuál será la presión atmosférica soportada por el avión al cabo de 10 segundos? ¿Cuál es la razón de cambio de la presión del avión respecto al tiempo? Pincha aquí para obtener más información

Caso de una variable independiente:

Sea z=F(x,y) una función suave, es decir, con derivadas parciales continuas y supongamos que tanto x como y son funciones de un parámetro t y ambas tienen derivadas respecto de t. Entonces z=F(x(t),y(t)) es una función compuesta. Un cambio en t afectará a las variables x e y, por lo tanto se producirá un cambio en z. Es razonable preguntarse por la razón de cambio de z respecto a t. Esta derivada puede obtenerse:

dz dt = ∂ z ∂ x . dx dt + ∂ z ∂ y . dy dt

Caso de dos variables independientes

Sea z=F(x,y) una función suave, es decir, con derivadas parciales continuas y supongamos que tanto x como y son funciones de dos parámetros, s y t, existiendo también sus derivadas parciales respecto a estas variables. Entonces z=F(x(t,s),y(t,s)) es derivable parcialmente y se cumple:

Con la regla de la cadena se pretende calcular derivadas parciales de una función compuesta, sin realizar la composición de funciones previamente.

Ejemplo: La trayectoria de un avión en el instante t viene dada por x( t ) → =600t( 1,1,1 ) t>0 estando en el instante t=0 sobre el nivel del mar y considerando t en segundos. Suponiendo que la presión atmosférica P varía según la fórmula

P( x,y,z )= 10 −12 x+ 10 −12 y− 10 −8 z 2 +1 ( 0≤z≤10000 )

¿Cuál será la presión atmosférica soportada por el avión al cabo de 10 segundos? ¿Cuál es la razón de cambio de la presión del avión respecto al tiempo? Pincha aquí para obtener más información

Caso de una variable independiente:

dz dt = ∂ z ∂ x . dx dt + ∂ z ∂ y . dy dt

Caso de dos variables independientes

Sea z=F(x,y) una función suave, es decir, con derivadas parciales continuas y supongamos que tanto x como y son funciones de dos parámetros, s y t, existiendo también sus derivadas parciales respecto a estas variables. Entonces z=F(x(t,s),y(t,s)) es derivable parcialmente y se cumple:

∂z ∂s = ∂z ∂x ⋅ ∂x ∂s + ∂z ∂y ⋅ ∂y ∂s ∂z ∂t = ∂z ∂x ⋅ ∂x ∂t + ∂z ∂y ⋅ ∂y ∂t