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A partir del concepto de límite, introducimos un concepto nuevo, el de derivada, que es fundamental en el desarrollo del análisis matemático.
La derivación permite resolver problemas como: encontrar la ecuación de la recta tangente a una curva en uno de sus puntos o hallar los puntos en los que una función alcanza los máximos y mínimos relativos.
El cálculo de derivadas está unido a dos grandes matemáticos: Newton y Leibniz.
El primero nació en 1643. En su primer año en Cambridge, estudió las obras de Euclides, Descartes,
Kepler, Vikte y Wallis. A partir de 1663, asistió a las clases de Barrow y se familiarizó con las obras
de Galileo, Fermat y otros. En 1665, hace sus primeros descubrimientos sobre las series infinitas y
comienza a pensar en la velocidad del cambio o fluxión de magnitudes que varían, tales como longitudes,
áreas, distancias, etc. En 1666 tuvo que permanecer en su casa porque el Trinity College estuvo cerrado
a causa de la peste que asolaba a Inglaterra en aquella época. De aquel período son sus principales
descubrimientos: El teorema binomial, el cálculo, la ley de gravitación universal y la naturaleza de
los colores. En 1669, Barrow consigue que nombren a Newton como sucesor suyo en la cátedra de matemáticas.
Allí permaneció hasta 1696, en que es nombrado gobernador de la Casa de la Moneda Británica.
Halley, amigo de Newton, fue a preguntarle en cierta ocasión si sabía qué trayectoria seguiría un
planeta alrededor del Sol, en el supuesto de que la única fuerza que influyese fuese una fuerza que
disminuyera en relación con el cuadrado de la distancia al Sol.
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La respuesta de Newton fue instantánea:
“una trayectoria elíptica” . Fue Halley quien animó a Newton a publicar sus cálculos y el resultado fue
la obra más influyente y revolucionaria que haya aparecido jamás: Philosophie naturalis principia
matemática.
En ella Newton razona cómo es físicamente el sistema solar y establece las leyes de
la dinámica. Sin embargo ni Halley ni Wallis pudieron hacerle publicar sus estudios sobre el cálculo, hasta que el alemán Leibniz en 1684 publicó en la revista científica Acta Eruditorum, un procedimiento para calcular tangentes a una curva cualquiera.
Aunque Newton llegó más lejos con el cálculo que Leibniz, éste inventó una notación muy superior a la usada por Newton. Mientras Newton escribía la derivada de y como y', y la de x como x', Leibniz
usaba dy/dx y dx/dy.
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Algunos de los descubrimientos de Newton han ido mejorándose, completándose e incluso han sido
superados por otras teorías científicas. Sin embargo, la potencia de los descubrimientos realizados
es tan fuerte que nos permite resolver problemas de la índole más diversa tales como determinar una
velocidad, la energía de una máquina, el coste de un producto para obtener un beneficio máximo, etc.
Gracias al cálculo de derivadas, podemos resolver cualquier problema en el que intervengan dos
magnitudes y queramos determinar el valor de una de ellas para que la otra alcance un valor máximo
o mínimo.
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