Imaginemos un objeto que oscila atado al final de una cuerda.
Cuando lo separamos
de su posición de equilibrio, estirándolo o comprimiéndolo, adquiere un
movimiento vibratorio armónico simple, pues la fuerza recuperadora de
ese resorte es la que genera una aceleración, la cual le confiere ese
movimiento de vaivén. En este ejemplo la fuerza x(t) aplicada a la masa
representa la entrada del sistema mecánico mientras que el
desplazamiento y(t) representa la salida.
|
 |
Observando el
movimiento del resorte, vemos que se desplaza entre dos puntos,
desde la máxima compresión hasta la máxima elongación, pasando por
un punto medio, de equilibrio.
-
La distancia desde el punto medio a
cualquiera de los extremos la llamamos amplitud y la
representamos por A.
-
La posición que ocupa la bola roja en cada
momento con respecto al punto central la conocemos como
elongación, lo representamos por y.
-
El tiempo en realizar una oscilación
completa es el período, representado por T y medido en
segundos
-
La frecuencia es el número de oscilaciones
por segundo que realiza y la representamos por w.
|
Para
definir el movimiento tenemos que calcular su ecuación, donde veremos la
relación entre las magnitudes que intervienen e influyen sobre él. Como
cualquier movimiento, debemos encontrar una ecuación que nos relacione
la posición (x) con el tiempo, es decir, encontrar la expresión de la
posición en función del tiempo. Para ello vamos a partir de dos leyes
muy conocidas en Física:
Ley de Hooke: que determina que la fuerza recuperadora
del resorte es proporcional a la posición y de signo contrario. La
expresión de la ley es:
F = - Ky
|
La 2ª ley de Newton: que nos viene a decir que toda
aceleración tiene su origen en una fuerza. esto lo expresamos con la
conocida:
F = ma
|
|
Como la fuerza recuperadora del resorte es la que origina la
aceleración del movimiento, ambas fuerzas, expresadas
arriba, son iguales. Luego:
−ky=m
d
2
y
d
t
2
donde hemos expresado la aceleración como la segunda derivada de la posición con
respecto al tiempo.
|
A partir de esta ecuación encontramos
dos soluciones para el valor de la posición en función del tiempo:
y=Asen(
ωt+ϕ
)
y=Acos(
ωt+ϕ
)
siendo y la elongación, A
la amplitud,
la pulsación o frecuencia angular y
ϕ
el desfase, que nos indica la discrepancia entre el origen de espacios
(pinto donde empezamos a medir el espacio) y el origen de tiempos. El
valor de la frecuencia angular está relacionado con la constante
recuperadora por la igualdad:
ω=
k
m
|