La primera observación importante que hay que hacer es que aunque
el seno y el coseno de números reales toma valores entre -1 y 1 el seno
y el coseno complejos pueden tomar cualquier valor complejo.
Por ejemplo, vamos a determinar si hay algún número complejo cuyo
seno sea 4. Es decir, buscamos z cumpliendo
sen z=4
. Por definición,
senz=
e
iz
−
e
−iz
2i
, luego se ha de cumplir
senz=4 ⇔
e
iz
−
e
−iz
=8i ⇔
e
iz
−
1
e
iz
=8i
LLamando,
e
iz
=x
y sustituyendo en la última expresión:
x−
1
x
=8i ⇔
x
2
−8ix−1=0
Resolviendo esta ecuación
x=
8i±
(8i)
2
+4
2
=
8i±
60
i
2
=(
4±
15
) i
Deshaciendo el cambio,
e
iz
=x ⇔ z=
Logx
i
z=
Log(
(
4±
15
) i
)
i
=−i Log(
(
4±
15
) i
)
Calculando los logaritmos
Log(
(
4+
15
) i
)=log(4+
15
)+i (
∏
2
+2κ∏
) , k∈ℤ
Log(
(
4−
15
) i
)=log(
4−
15
)+i (
∏
2
+2κ∏
) , k∈ℤ
Por lo tanto, los números complejos cuyo seno es 4 son:
z
1
=−i [
log(4+
15
)+i (
∏
2
+2κ∏
)
]= (
∏
2
+2κ∏
)−i log(4+
15
)
z
2
=−i [
log(4−
15
)+i (
∏
2
+2κ∏
)
]= (
∏
2
+2κ∏
)−i log(4−
15
)
Ejercicio: ¿Podrías determinar cómo ha de ser
un número z para que el seno de z tome valores reales entre -1 y 1?.
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