Una vez definidas las funciones exponencial y logaritmo complejas podemos definir  z w  con   z,  w∈ℂ . 

La potencia de un número complejo z elevado a otro número complejo w se define como

z w = e wLog⁡z

Conviene observar que así como el logaritmo neperiano de un número complejo tiene infinitos valores, también existen infinitos valores para las potencias complejas. Se llamará principal a aquella potencia que corresponda al valor principal de Log z.

Por ejemplo, podemos calcular  (−3+i) 4i . Por definición,

(−3+i) 4i = e 4iLog⁡(−3+i)

Como  z=−3+i

| z |= 9+1 = 10    arg(⁡z)=arctg 1 −3

Por lo tanto,

e 4 i Log( −3+i ) = e 4i(log⁡ 10 +i(arctg( −1 3 )+2κ∏))

= e −4(arctg( −1 3 )+2κ∏)+4log⁡ 10 i

= e −4arctg( −1 3 )+2κ∏ (cos⁡4log⁡ 10 +isen4  log⁡ 10 )

Ejercicio: Calcula tu ahora   z= i i 1−i . Pulsa aquí para ver la respuesta.