Se define el logaritmo neperiano de un número complejo  z∈ℂ  como el valor complejo w tal que  e w =z . 

Si   w=a+bi  y  z=r( cos⁡ϕ+isenϕ )   entonces para calcular el logaritmo neperiano de z se ha de encontrar los números reales a y b de forma que

e a+bi =r( cos⁡ϕ+isenϕ )

es decir,

  e a ( cos⁡b+isenb )=r( cos⁡ϕ+isenϕ )  

Igualando módulos y argumentos

r= e a b=ϕ+2k∏           ,    k∈ℤ

Por lo tanto,

a=log⁡r             b=ϕ+2k∏          ,    k∈ℤ

w=Logz=log⁡r+i( ϕ+2k∏ )             ,    k∈ℤ  

Notación.- Utilizaremos la notación de Log para el logaritmo neperiano complejo y log para el logaritmo neperiano real.

Esto significa que cada número complejo tiene infinitos logaritmos neperianos. Para cada valor de k se tiene una determinación o rama de la función logaritmo. 

Ejemplo: Si queremos calcular el logaritmo neperiano del número complejo  z=1+ 3 i  debemos calcular previamente el módulo y el argumento de z:

| z |=2       ,    arg⁡z= ∏ 3

y entonces su logaritmo neperiano es:

Logz=log⁡2+i( ∏ 3 +2k∏ )            ,    k∈ℤ

• Si se considera k=0 en la definición del logaritmo neperiano se obtiene el logaritmo o la rama principal,

w=Log⁡z=log⁡r+iϕ 

• Igual que en el caso de las funciones reales, se puede definir el logaritmo cuando la base no es el número e. Si   z,w∈ℂ  se define el logaritmo en base z de w como

Log⁡ z w= Log⁡w Log⁡z

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