La fórmula de Moivre permite obtener el cos(nx) en función del seno y del coseno de x.

Veamos un ejemplo: cómo obtener el cos(4x) y el sen(4x) en función del seno y del coseno de x.

Por la fórmula de Moivre:

[ cos⁡x+isenx ] 4 =cos⁡(4x) +isen(4x)

Aplicando el Binomio de Newtona la primera parte de la igualdad:

[ cos⁡x+i sen x ] 4 =( 4 0 ) cos⁡ 4 x+( 4 1 ) cos⁡ 3 x( isenx )+( 4 2 ) cos⁡ 2 x (isenx) 2 +( 4 3 )cos⁡x (isenx) 3 +( 4 4 ) (isenx) 4 =

= cos⁡ 4 x+4i cos⁡ 3 x senx−6 cos⁡ 2 x  se n 2 x−4icos⁡xse n 3 x+se n 4 x=

=( cos⁡ 4 x−6 cos⁡ 2 x  se n 2 x+se n 4 x )+i ( 4 cos⁡ 3 x senx−4cos⁡xse n 3 x )

Igualando la parte real y la parte imaginaria de la expresión anterior con las correspondientes del segundo miembro de la igualdad obtenida en la fórmula de Moivre:

cos⁡( 4x )= cos⁡ 4 x−6 cos⁡ 2 xse n 2 x+se n 4 x

sen(4x)=4 cos⁡ 3 xsenx−4cos⁡xse n 3 x

Ejercicio: Del mismo modo puedes intentar obtener el coseno y el seno del ángulo doble en función del seno y del coseno de x.