Si conocemos la forma binómica del número complejo,  z=a+bi ,  y deseamos pasar a la forma polar hay que tener en cuenta que:

r=| z |= a 2 + b 2

ϕ=arg⁡z=arctg b a =arctg b/r a/r  

este ángulo hay que buscarlo verificando:

cos⁡ϕ= a r senϕ= b r

Ejemplo: Es importante esta observación ya que si consideramos los números complejos:  z 1 =1−i z 2 =−1+i  y buscamos el argumento como el ángulo que verifica

ϕ=arctg b a

podría pensarse que los dos números complejos tienen el mismo argumento ya que en los dos casos se obtiene ϕ=arctg( −1 ) . 

Sin embargo, no es así. Para evitar errores lo que hay que buscar es:

• Para  z 1

ϕ 1 =arctg( −1 1 )=arctg( −1/ 2 1/ 2 )

cumpliendo

cos⁡ ϕ 1 = 1 2 = 2 2 sen ϕ 1 =− 1 2 =− 2 2

Es decir:  ϕ 1 =− ∏ 4

• Para  z 2

ϕ 2 =arctg( 1 −1 )=arctg( 1/ 2 −1/ 2 )

cumpliendo

cos⁡ ϕ 2 = −1 2 = − 2 2 sen ϕ 2 = 1 2 = 2 2

Es decir,  ϕ 2 = 3∏ 4 .

Utiliza la siguiente herramienta para plantearte tus propios ejemplos y comprobar su resultado

Si conocemos la forma polar del número complejo,  z= r ϕ  , donde  r=| z |, ϕ=arg⁡z ,  sólo hay que tener en cuenta que:

  a=Re⁡z=rcos⁡ϕ , b=Im⁡z=rsenϕ

Utiliza la siguiente herramienta para plantearte tus propios ejemplos y comprobar su resultado