Ejemplo 1: ¿Sabrías determinar el conjunto de puntos del plano que cumplen que  | z |=1  ? Sabemos que los puntos 1, -1, i, -i forman parte de ese conjunto. Veamos si hay alguno más. El problema es encontrar los puntos (x, y) de forma que 

| x+iy |= x 2 + y 2 =1

o lo que es lo mismo:   x 2 + y 2 =1 . 

Esta es la ecuación de una circunferencia centrada en el origen de radio la unidad.

• Los puntos interiores a la circunferencia unidad serían aquellos cuyo módulo es menor que 1

• Los puntos exteriores a la circunferencia unidad serían aquellos cuyo módulo es mayor que 1.

Ejemplo 2: ¿Sabrías expresar el conjunto de puntos del plano cuya distancia a un punto dado (a, b) es constante e igual a r? Sabemos que este conjunto está formado por los puntos (x, y) de la circunferencia de centro (a, b) y radio r cuya ecuación es

( x−a ) 2 + ( y−b ) 2 = r 2

Si consideramos el par (x, y) como el afijo del número complejo  z=x+iy  y  z o =a+bi  esta ecuación se puede expresar ahora como:

| z− z o |=r

La ecuación  | z− z o |=r   corresponde a una circunferencia centrada en el punto  z o   de radio el número real r.

• Los puntos interiores a esta circunferencia serán aquellos que cumplen  | z− z o |<r

• Los puntos exteriores a esta circunferencia serán aquellos que cumplen  | z− z o |>r