División de números complejos

Al igual que en los números reales, dividir no es más que multiplicar por el inverso del divisor. Pero ¿cómo obtener el inverso de un número complejo? Es decir, dado x+iy ¿cómo encontrar u+iv= 1 x+yi de forma que: ( x+iy )( u+iv )=1 ?.

En primer lugar observamos que

( x+iy )( x−iy )= x 2 + y 2 .

Si a esta igualdad la dividimos por x 2 + y 2 se tendrá:

( x+iy )( x x 2 + y 2 − iy x 2 + y 2 )=1 .

Luego el inverso de x+iy es u+iv= x x 2 + y 2 − iy x 2 + y 2

De esta forma para dividir dos números complejos:

a+bi c+di =( a+bi )( 1 c+di )=( a+bi )( c c 2 + d 2 −i d c 2 + d 2 )

Regla práctica: Observa que si se multiplica el numerador y el denominador por el conjugado del denominador se obtiene el mismo resultado.

a+bi c+di = ( a+bi )( c−di ) ( c+di )( c−di ) =( a+bi )( c c 2 + d 2 − d c 2 + d 2 i )

Al igual que en los números reales, dividir no es más que multiplicar por el inverso del divisor. Pero ¿cómo obtener el inverso de un número complejo? Es decir, dado x+iy ¿cómo encontrar u+iv= 1 x+yi de forma que: ( x+iy )( u+iv )=1 ?.

En primer lugar observamos que

( x+iy )( x−iy )= x 2 + y 2 .

Si a esta igualdad la dividimos por x 2 + y 2 se tendrá:

( x+iy )( x x 2 + y 2 − iy x 2 + y 2 )=1 .

Luego el inverso de x+iy es u+iv= x x 2 + y 2 − iy x 2 + y 2

De esta forma para dividir dos números complejos:

a+bi c+di =( a+bi )( 1 c+di )=( a+bi )( c c 2 + d 2 −i d c 2 + d 2 )

Regla práctica: Observa que si se multiplica el numerador y el denominador por el conjugado del denominador se obtiene el mismo resultado.

a+bi c+di = ( a+bi )( c−di ) ( c+di )( c−di ) =( a+bi )( c c 2 + d 2 − d c 2 + d 2 i )

Ejemplos: Puedes intentar como ejemplo calcular con ayuda de la herramienta de la derecha los siguientes cocientes:

3+2i −1+2i

3−2i −1−2i

Debes pulsar sobre el botón "pasos" para ir viendo el proceso detalladamente.

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