Suma de los términos de una progresión geométrica

Suma de los términos de una progresión geométrica

Suma de n términos consecutivos de una progresión geométrica

Al igual que ocurría con las progresiones aritméticas, la suma de los n primeros términos de una progresión geométrica también admite una expresión muy simplificada, en la que sólo intervienen los términos extremos y la razón.

Queremos calcular la siguiente suma

S= a 1 + a 2 + a 3 +...+ a n−1 + a n

siendo a 1 , a 2 , a 3 , ... , a n los primeros n términos de una progresión geométrica de razón r.

Si consideramos S y r*S obtenemos:

de donde resulta:

S= a n ⋅r− a 1 r−1

Puedes practicar con distintos ejemplos en el gráfico de la derecha.

Ejemplo.- Pongamos como primer ejemplo una anécdota muy famosa y conocida. Se cuenta que el hindú Sissan ben Daher, presentó el juego del ajedrez al rey Shirham.

Éste, agradecido, quiso compensar al brahmán concediéndole un deseo. Sissan le respondió que bastaba con que le diera un grano de trigo por la primera casilla, 2 granos por la segunda, cuatro por la tercera y así doblando la cantidad hasta la casilla 64. El rey, que desconocía el alcance de la suma de una progresión geométrica de razón 2 desde 2 hasta 2 63 , dio orden de satisfacer la petición pensando que Sissan era fácil de complacer. La cantidad de granos que el rey debía haberle entregado era

1 + 2 + ... + 2 63 = 2 63 + 1 − 1 2 − 1 = 18.446.744.073.709.551.615 g r a n o s

Aproximadamente unos 9.557.898.400.000 m3 de trigo.