Volumen de un cuerpo de revolución
Una superficie de revolución se genera cuando se hace girar una curva, llamada generatriz, alrededor de una recta, llamada eje de revolución. El cuerpo limitado por la superficie y los dos círculos que se forman en los extremos, se llama cuerpo de revolución o sólido de revolución.
Si la generatriz es una recta que corta al eje de revolución, la superficie de revolución es un cono. Una esfera se puede obtener mediante la revolución de una semicircunferencia. Un toro (nombre matemático de una superficie con forma de donut) se puede obtener mediante la revolución de una circunferencia alrededor de un eje que no la corta y que está en el mismo plano.
Si la curva generatriz es la gráfica de una función positiva f(x), a≤x≤b MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamyyaiabgsMiJkaadIhacqGHKjYOcaWGIbaaaa@3C22@ , y el eje de revolución es el eje x, entonces el volumen V del cuerpo de revolución se puede calcular mediante la integral V= ∫ a b π [ f(x) ] 2 dx MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOvaiabg2da9maapedabaGaeqiWda3aamWaaeaacaWGMbGaaiikaiaadIhacaGGPaaacaGLBbGaayzxaaWaaWbaaSqabeaacaaIYaaaaOGaamizaiaadIhaaSqaaiaadggaaeaacaWGIbaaniabgUIiYdaaaa@458E@
Ejemplo. El volumen del cuerpo de revolución que se obtiene al rotar la gráfica de f(x)= x 3 8 +3 MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOzaiaacIcacaWG4bGaaiykaiabg2da9maalaaabaGaamiEamaaCaaaleqabaGaaG4maaaaaOqaaiaaiIdaaaGaey4kaSIaaG4maaaa@3E97@  alrededor del eje x es V= ∫ −2 2 π [ x 3 8 +3 ] 2 dx =π ∫ −2 2 ( x 6 64 + 3 x 3 4 +9 ) dx= 256π 7 MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=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@616F@

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