De la misma forma que hemos ampliado las funciones exponencial y logaritmo al campo complejo, vamos a ampliar las funciones trigonométricas.

Considerando la fórmula de Euler se tiene que si   x∈ℝ

e ix =cos⁡x+isenx      e −ix =cos⁡x−isenx  

Por lo tanto,

  e ix + e −ix =2cos⁡x      e ix − e −ix =i2senx  

Extendiendo estas fórmulas al campo complejo, se definen el seno, el coseno y la tangente complejos como:

  cos⁡z= e iz + e −iz 2      senz= e iz − e −iz 2i      tgz= e iz − e −iz 2i e iz + e −iz 2 =−i e 2iz −1 e 2iz +1

De esta forma, se han definido las funciones trigonométricas complejas ampliando la definición conocida sobre  ℝ .

 Por ejemplo, el  cos⁡( 1+i )  se calcula de la forma siguiente

cos⁡( 1+i )= e i( 1+i ) + e −i( 1+i ) 2 = e −1+i + e 1−i 2 =

= e −1 ( cos⁡( 1 )+isen( 1 ) )+ e 1 ( cos⁡( −1 )+isen( −1 ) ) 2 =

= e −1 ( cos⁡( 1 )+isen( 1 ) )+ e 1 ( cos⁡( 1 )−isen( 1 ) ) 2 =

=cos⁡( 1 ) e −1 +e 2 +i sen( 1 ) e −1 −e 2 =cos⁡( 1 ) 1+ e 2 2e +i sen( 1 ) 1− e 2 2e

Puedes calcular tú ahora el  sen( 1+i ) . Pincha aquí para ver la solución.