Función exponencial

Hemos calculado las potencias de un número complejo en los casos en que el exponente es un número entero o un número fraccionario. Nos falta definir por último la potencia de base y exponente complejo. La definición de un número complejo z elevado a otro número complejo w teniendo en cuenta la definición análoga en el conjunto de los números reales se ampliaría al conjunto de los números complejos de la forma:

z w = e log⁡( z w ) = e wlog⁡z donde log hace referencia al logaritmo neperiano.

Notación.- A partir de ahora cada vez que hablemos del logaritmo haremos referencia al logaritmo neperiano aunque no lo indiquemos explícitamente. Utilizaremos además la notación de "log" para referirnos a dicho logaritmo.

Por este motivo es necesario definir previamente la exponencial de un número complejo y su logaritmo neperiano. Veamos cómo extender al conjunto de los números complejos la función exponencial.

Utilizaremos para ello la fórmula de Euler e iϕ =cos⁡ϕ+isenϕ siendo ϕ∈ℝ .

Se define la función exponencial de z=x+iy como e z = e x+iy = e x ( cos⁡y+iseny ) donde e x es la exponencial real del número real x.

Por ejemplo, dado z=3+ 5 i la exponencial de z, e z , es el número complejo e 3+ 5 i = e 3 ( cos⁡ 5 +i sen 5 ) .

Observación 1: En el caso de que el número complejo sea un número real (con parte imaginaria cero) la exponencial compleja coincide con la exponencial real. Es decir, si a es un número real la exponencial compleja de a coincide con la exponencial real,

e a+oi = e a ( cos⁡0+isen0 )

Observación 2: La función exponencial compleja así definida verifica las mismas propiedades que la función exponencial real:

e z+w = e z e w .
( e z ) −1 = e −z .

z w = e log⁡( z w ) = e wlog⁡z donde log hace referencia al logaritmo neperiano.

Notación.- A partir de ahora cada vez que hablemos del logaritmo haremos referencia al logaritmo neperiano aunque no lo indiquemos explícitamente. Utilizaremos además la notación de "log" para referirnos a dicho logaritmo.

Por este motivo es necesario definir previamente la exponencial de un número complejo y su logaritmo neperiano. Veamos cómo extender al conjunto de los números complejos la función exponencial.

Utilizaremos para ello la fórmula de Euler e iϕ =cos⁡ϕ+isenϕ siendo ϕ∈ℝ .

Se define la función exponencial de z=x+iy como e z = e x+iy = e x ( cos⁡y+iseny ) donde e x es la exponencial real del número real x.

Por ejemplo, dado z=3+ 5 i la exponencial de z, e z , es el número complejo e 3+ 5 i = e 3 ( cos⁡ 5 +i sen 5 ) .

Observación 1: En el caso de que el número complejo sea un número real (con parte imaginaria cero) la exponencial compleja coincide con la exponencial real. Es decir, si a es un número real la exponencial compleja de a coincide con la exponencial real,

e a+oi = e a ( cos⁡0+isen0 )

Observación 2: La función exponencial compleja así definida verifica las mismas propiedades que la función exponencial real:

e z+w = e z e w .

( e z ) −1 = e −z .