Sucesiones no convergentes

Hemos convenido antes en llamar convergente a toda sucesión que tiene límite. Llamaremos entonces no convergente a aquellas sucesiones que no tengan límite.

Ejemplo: Las siguientes sucesiones son no convergentes;

Sucesión 1: 1,2,5,10,..., n 2 +1,...

Sucesión 2: a n ={ n si n es par n 2 si n es impar

Sucesión 3: 1,−1,1,−1,..., ( −1 ) n ,...

Sucesión 4: a n ={ 1 n+1 si n es par n+2 si n es impar

Dentro de las sucesiones no convergentes podemos distinguir dos clases: las divergentes (sucesiones 1 y 2 del ejemplo) y las oscilantes (sucesiones 3 y 4).

Decimos que una sucesión ( a n ) tiende a ∞ si cualquiera que sea el número real k fijado por grande que este sea, podemos conseguir que los términos de la sucesión superen dicho valor sin más que tomar valores de n mayores que un número natural N o . En este caso se dice que la sucesión es divergente a + ∞ .

Simbólicamente esto puede escribirse así

lim⁡ n→∞ a n =∞ ⇔ ∀k∈ℝ ∃ N 0 ∈ℕ tal que a n >k ∀n> N 0

Análogamente se puede definir cuando una sucesión es divergente a - ∞ . Puedes ver la definición aquí

Puedes utilizar el como herramienta para analizar el carácter de sucesiones divergentes.

Toda sucesión no convergente que no sea divergente se dice oscilante.

Hemos convenido antes en llamar convergente a toda sucesión que tiene límite. Llamaremos entonces no convergente a aquellas sucesiones que no tengan límite.

Ejemplo: Las siguientes sucesiones son no convergentes;

Sucesión 1: 1,2,5,10,..., n 2 +1,...

Sucesión 2: a n ={ n si n es par n 2 si n es impar

Sucesión 3: 1,−1,1,−1,..., ( −1 ) n ,...

Sucesión 4: a n ={ 1 n+1 si n es par n+2 si n es impar

Dentro de las sucesiones no convergentes podemos distinguir dos clases: las divergentes (sucesiones 1 y 2 del ejemplo) y las oscilantes (sucesiones 3 y 4).

Simbólicamente esto puede escribirse así

lim⁡ n→∞ a n =∞ ⇔ ∀k∈ℝ ∃ N 0 ∈ℕ tal que a n >k ∀n> N 0

Análogamente se puede definir cuando una sucesión es divergente a - ∞ . Puedes ver la definición aquí

Puedes utilizar el como herramienta para analizar el carácter de sucesiones divergentes.

Toda sucesión no convergente que no sea divergente se dice oscilante.

En resumen, atendiendo a su carácter, las sucesiones se clasifican según el esquema siguiente: