CONTENIDOS

• Conjuntos numéricos
  · Naturales             · Enteros             · Racionales             · Reales             · Complejos

OBJETIVOS

1. Reconocer los problemas que resuelven los distintos conjuntos numéricos y en algunoas casos, su relación con la estructura algebraica de cada uno



2. Expresar en lenguaje algebraico situaciones expresadas en lenguaje cotidiano y recíprocamente.



3. Resolver distintos tipos de ecuaciones (lineales, polinómicas sencillas, otras donde intervenga el valor absoluto o un radical, ...)



4. Resolver distintos tipos de inecuaciones (lineales y cuadráticas, otras donde intervenga el valor absoluto, ...) .



5. Resolver sistemas donde intervengan ecuaciones e inecuaciones sencillas y representar gráficamente su solución.

ORIENTACIONES

1. Las diferentes situciones presentadas en la introducción, permiten recordar al lector algunos aspectos de los conjuntos numéricos con los que ha ido trabajando a lo largo de su formación matemática previa y sirven de elemento motivador de lo que viene a continuación.  



2. La construcción rigurosa de los diferentes conjuntos numéricos supone, por un lado, mucho trabajo, en la mayoría de las ocasiones alejado de la intuición, y por otro, el dominio de las relaciones de equivalencia y los conjuntos cociente asociados. Por eso, en general no se da la construcción algebraica de dichos conjuntos, aunque en algún caso se pueda acceder a ella mediante un enlace.
   
   Cada conjunto numérico se presenta resaltando alguna característica o función propia frente al resto de los mismos. También se señala cómo con cada conjunto se "rellenan" más puntos de una recta, hasta llegar al conjunto de los reales, que la completa.
   
        - Los naturales tienen dos funciones básicas, determinar el tamaño de un conjunto finito o la posición de un elemento dentro de una colección ordenada. Desde diferentes enlaces se puede ver la caracterización de este conjunto mediante los axiomas de Peano y el principio de inducción como una de sus consecuencias.
   
        - Los enteros se presentan inicialmente como el resultado de ampliar el conjunto de los números naturales para que todas las ecuaciones del tipo x+a=b tengan solución. A continuación se muestran algunas contextualizaciones e interpretaciones que pueden darse de los números enteros y sus operaciones. Al desarrollo histórico de este concepto y a su construcción formal, puede accederse mediante sendos enlaces.
   
        - Se indica que el conjunto de los números racionales se construye como necesidad de ampliar el el conjunto de los enteros y, casi simultáneamente, se dice que los racionales positivos se manejaron antes con los enteros. Se trata de mostrar así los posibles caminos de paso de N a Q, que pueden ilustarse en el siguiente diagrama, donde el camino inferior responde mejor al proceso histórico.
   
   (ℕ,+) → (ℤ,+) ↗ ↘ (ℕ,+,⋅) (ℚ,+,⋅) ↘ ↗ ( ℕ * ,⋅) → ( ℚ *+ ,⋅)
   Además se muestran diferentes maneras de interpretación para las fracciones equivalentes (parte-todo, reparto, parte-parte, operador, ...) y se caracterizan a través de sus expresiones decimales.
   
        - Ejemplos de longitudes de segmentos que no se corresponden con números racionales nos permiten mostrar la existencia de objetos que se corresponden con expresiones decimales no periódicas, los números irracionales. En este apartado sobre números reales nos permitimos hablar, de forma bastante intuitiva, de los "tamaños" de los conjuntos numéricos, aspecto este que puede ser explotado más si el alumno es receptivo. El valor absoluto también tiene aquí hueco.
   
        - El cuerpo de los complejos es estudiado de manera breve y elemental,destacando el hecho de que sea algebraicamente cerrado. Las propiedades relativas a conjugados nos permitirán probar, cuando se trate la resolución de ecuaciones polinómicas reales, que las raíces complejas y no reales aparecen de dos en dos.
   
   Para todos los conjuntos numéricos se muestran sus estructuras algebraicas y se definen las relaciones de orden en los casos posibles. No se prueba la imposibilidad de ordenar el conjunto de los números complejos pues este aspecto es abordado en los módulos correspondientes al estudio completo de dicho conjunto numérico.
   



3. Algunos ejemplos de la introducción son rescatados para motivar el concepto de ecaución y del significado de resolución. Después, se muestran ecuaciones formuladas entre diferentes tipos de objetos (números, matrices, funciones) y a continuación se hace un aviso sobre cómo varía el conjunto solución de una misma ecuación si es considerada con exactamente las incógnitas con las que se describe o con un número mayor de ellas. Este hecho se ilustra con el ejemplo de una ecuación lineal en x considerada en contextos de una, dos y tres incógnicas.
   
   Como es habitual se distinguen las ecuaciones lineales y las polinómicas del resto. Se dan las expresiones generales de las ecuaciones lineales de n incógnitas y de las polinómicas de grado n en una incógnita y de grado 2 de dos y tres incógnitas. Estas últimas por la relevancia geométrica que tienen (definen cónicas y cuádricas) y de la que nos ocupamos en parte cuando se trata la resolución de las mismas.
   
   La resolución de las ecuaciones indicadas arriba se completa con la resolución de otras ecuaciones en una incógnita: las que vienen dadas en función del valor absoluto por su uso, junto con inecuaciones, en un posible estudio posterior del límite de funciones; las radicales por cuanto en no todos los pasos de su reslución se pasa a ecauciones equivalentes; las logarítmicas y exponenciales por su uso en problemas comunes de la vida cotidiana.  



4. Tras indicar lo que se entiende por inecuación, se aborda con especial interés la resolución de las inecuaciones lineales en una, dos y tres incógnitas, que se completa con la resolución de ejemplos concretos de otros tipos de inecuaciones. Se termina el tema con la resolución de sistemas de ecuaciones y/o inecuaciones particulares. Para el estudio completo de los sistemas de ecuaciones lineales se indica el módulo de Lemat concreto que trata estas cuestiones.  

RELACIÓN ENTRE NIVELES Y CON OTROS MÓDULOS

Este módulo se ha confeccionado con la idea de ofrecer, de manera rápida, las características propias de los diferentes conjuntos numéricos y de mostrar cómo algunas de sus propiedades algebraicas están relacionadas con el tipo de problemas que resuelven.

La construcción formal del conjunto de los números enteros se ofrece, como ya se ha dicho, como algo optativo. También se hace un recorrido más o menos exhaustivo sobre las diferentes interpretaciones de un número racional. En el caso de los números reales se habla de forma somera del principio del supremo, pero esta cuestión es abordada, por su aplicación, en el módulo de sucesiones y series. Un estudio pormenorizado del conjunto de los números complejos se efectúa en módulos específicos de este proyecto por lo que en el módulo que nos ocupa sólo nos encargamos de dar una introducción de los mismos.

Para el estudio de sistemas de ecuaciones lineales reales se remite a los módulos correspondientes de este proyecto.

En el estudio de sistemas de inecuaiones lineales se comenta su utilidad en los problemas de programación lineal. Como por el momento este tema no se recoge en este proyecto se indican concretamente dos direcciones, una donde se tratan estas cuestiones desde un punto de vista teórico a nivel sencillo y otra donde se puede acceder a un software para la representación y resolución de problemas de programación lineal con un máximo de cinco inecuaciones.

Las propias caracteristicas del módulo ponen de manifiesto su utilidad en algunos otros.

ESCENAS INTERACTIVAS

La mayor parte de los ejercicios del módulo están diseñados mediante una aplicación Javascript que permite conocer al alumno tanto la puntuación obtenida a través de sus respuestas, como la solución correcta, o en su defecto una pista para poder efectuar un nuevo intento y mejorar su calificación.

Los applets son interpretaciones de otros que aparecen en el proyecto Descartes.

PRE/POST EVALUACIÓN

Existe una preevaluación, tipo examen WebCT, que el estudiante puede realizar antes de iniciar el estudio del módulo.

Asimismo una vez estudiado el tema, el estudiante puede cumplimentar las autoevaluaciones que aparecen en la última página. Para cada bloque del tema se ha diseñado una. Su calificación, que se obtiene de forma instantánea, le informa sobre su conocimiento del módulo. Estas autoevaluaciones constituirían lo que denomina la post-evaluación.