Condiciones necesarias y condición suficiente de diferenciabilidad

Como ocurre con muchos conceptos matemáticos la definición resulta muy difícil de utilizar en la práctica por lo que vamos a ver ahora resultados que nos permitan determinar de manera más sencilla si una función es diferenciable.

 

Condición necesaria: Si una función es diferenciable en el punto P entonces es continua en el punto P.   

Condición suficiente: Si las derivadas parciales existen y son continuas en un entorno del punto P incluido en el dominio de f entonces f es diferenciable en el punto P.   

Condición necesaria: Si una función f es diferenciable en el punto P entonces es derivable en cualquier dirección   u → , en el punto P. Además puede demostrarse que

D u f( P )=〈 ∇f( P ),u 〉

siendo

∇f( x 1 , x 2 ,..., x n )=( ∂f ∂ x 1 ( x 1 , x 2 ,..., x n ),..., ∂f ∂ x n ( x 1 , x 2 ,..., x n ) )

que se llama gradiente de f en el punto genérico de coordenadas   ( x 1 , x 2 ,..., x n ) .