Aproximación mediante la diferencial

Se llama diferencial total de f en   x o →  para un incremento   Δ x → =( Δ x 1 ,Δ x 2 ,...,Δ x n )  al producto escalar del vector gradiente por   Δ x → , df=∇f( x o → )•Δ x → = ∂f ∂ x 1 ( x o → )Δ x 1 + ∂f ∂ x 2 ( x o → )Δ x 2 +...+ ∂f ∂ x n ( x o → )Δ x n Si ponemos   d x i =Δ x i , entonces la diferencial total será: df= ∂f ∂ x 1 ( x o → )d x 1 + ∂f ∂ x 2 ( x o → )d x 2 +...+ ∂f ∂ x n ( x o → )d x n

  • La diferencial es una aplicación lineal cuya matriz asociada es una matriz 1xn que se llama jacobiana: d f x o → ( h → )=( ∂f ∂ x 1 ( x o → ) ∂f ∂ x 2 ( x o → ) ... ∂f ∂ x n ( x o → ) )( h 1 h 2 ... h n ) .

  • La diferencial total es útil ya que permite calcular de forma aproximada el valor del incremento de la función f.

En el caso de funciones de dos variables podemos dar una interpretación geométrica de la diferencial.

 

Para ello, tendremos en cuenta la ecuación del plano tangente a la gráfica de la función z=f(x,y) en el punto (a,b,f(a,b))

z=f( a,b )+ ∂f ∂x ( a,b )( x−a )+ ∂f ∂y ( a,b )( y−b )

se puede asegurar que:

 Δz=f( a+Δx,b+Δy )−f( a,b )≈ ∂f ∂x ( a,b )Δx+ ∂f ∂y ( a,b )Δy=dz

para   Δx→0,Δy→0 .

  

En la imagen superior aparece en verde la gráfica de la función z=f(x,y) y en azul el plano tangente en el punto (a, b, f(a,b)). La diferencial total representa la variación de la altura del plano tangente cuando nos movemos del punto (a, b, f(a,b)) al punto (x, y, f(x,y)). En el caso de que: Δx=x−a→0 Δy=y−b→0 entonces: Δz≈dz

                

¿Qué he aprendido?